Pintér Gergő vagyok, matematikus, dalszövegíró, performer.
A MateMorfózis laikus közönségnek szóló ismeretterjesztő eseménysorozat szerteágazó formában, művészeti együttműködésekkel. A zenéim is szervesen kapcsolódnak a MateMorfózsihoz.

Köztudott tudás

A Matematika alapjai kurzusom résztvevőinek írtam a mai óra helyett, de megosztom itt is.
Talán hallottatok róla, hogy koronavírus fertőzés következtében meghalt egy igen különleges matematikus, John Conway. Úgyhogy ma óra helyett róla emlékezzünk meg.
Alkotott a a topológia (csomóelmélet területén is), a Conway polinom őrzi nevét, de számomra inkább a matematikai egzotikumok jutnak róla eszembe: olyan dolgokhoz csinált matematikai elméletet, amik ránézésre nem matematikai témák. Az általam ismert munkáiban közös a lényeg egyszerű és frappáns megragadása, a jól irányzott általánosítás.
A legismertebb az “game of life” nevezetű játékosok nélküli játéka.
Először a Nézd és mondd sorozatok (Look and say sequences) kapcsán találkoztam a nevével. Erről a sorozatról van szó:
1
11
21
1211
111221
312211
??….??
Az első, ami feltűnik, miután megfejtetted a szabályt és a következő sort, az, hogy egyáltalán nem használunk hozzá matematikai műveletet, még összeadást sem. Csak számlálást. Viszont a számok kétféle jelentésben állnak, darabszám illetve jel. Ezen jelentések összemosásából származik a sorozat, és talán attól ilyen zavarba ejtő, hogy nem szoktunk belegondolni ebbe a kétféle jelentésbe. E sorozat, mint már általános iskolás gyerekeknek is feladható. Felsőben vagy gimiben pedig ügyesen megfogalmazott feladatokon keresztül végig lehet vezetni a tanulókat a sorozat alapvető tulajdonságain: mikor fog először megjelenni a 4-es számjegy (soha), és tud-e csökkenni a sorhosszúság (nem). Ezen állítások bizonyítása rendkívül szórakoztató és tanulságos lehet egy szakkörre. El lehet vele játszadozni, hogy mi van akkor, ha nem 1-ből indulunk ki, hanem egy másik számból, számsorozatból. Esetleg szívecskéből és négyzetből? Tudsz-e mondani olyan kiindulási sorozatot, amiből kiindulva a sorhosszúság mindvégig állandó marad, nem változik?
Conway pedig bebizonyította, hogy a szomszédos sorhosszúságok aránya egy állandóhoz tart, vagyis a sorhosszúságok sorozata egy mértani sorozattal közelíthető. Hasonlóan ahhoz, miképpen a Fibonacci sorozat szomszédos tagjainak aránya egyre inkább megközelíti a Fít, az aranymetszés arányszámát. A Nézd és mond sorozat sorhosszúságainak aránya a Conwayról elnevezett konstanst közelíti, ami egy algebrai szám: egy 71-ed fokú (egész együtthatós) polinom legnagyobb valós gyöke. A bizonyításhoz Conway matematikát csinált ebből a klasszikus műveleteket nem használó sorozatból. Meghatározta a “prím” alkotórészeket, és azok egymásba alakulását. A prím sorocskákat “elemeknek” nevezte el és a kémiai elemekkel jelölte, az egymásba alakulásukat “audioaktív bomlásnak” nevezte el, és elkészítette e bomlás periódusos rendszerét. A kulcs segédtétel az, hogy bármilyen sorocskából is indulunk ki, az néhány (kevesebb, mint 30) lépést követően elemekre bomlik. E segédtétel bizonyítása a Fermat-sejtéshez hasonló sorsra jutott: Conwayék eredeti bizonyítása elveszett, a későbbi bizonyítások számítógéppel készültek. Így ezt a témát különösen ajánlom annak, aki a számítógépes bizonyítások esszét elvállalta. A segédtételt követően a Conway tétel bizonyítása már lineáris algebra, egy numerikus analízisben alkalmazott fixponttétel segítségével a Conway konstans a bomlást leíró mátrix sajátértékeként adódik. Az a bizonyos 71-ed fokú polinom a mátrix minimálpolinomja.
A kurzusunkhoz legközelebb álló eredménye Conwaynak a “Conway számok és Conway játékok”, vagy más néven szürreális számok. A Conway számok a számkör brutális kiterjesztése, én nem hittem el, hogy ezt meg lehet csinálni, amikor először olvastam róla, talán egy eltés diplomamunkában. A szürreális számokkal kapcsolatban egy esszétémát tűzök ki, április 30-i határidővel.
– Mi fán teremnek a szürreális számok?
– Milyen “számkörök” közös általánosítása? Hogyan kapcsolódik a kurzusunkhoz?
– Miről szól a játékelméleti alkalmazása?
Tehát nem a Wkipédiáról kimásolt precíz definíciót várok, inkább egy mesét arról, hogy mi ez, mit tud.
Még egy egzotikus téma, amiben Conway alkotott, a köztudott tudás (common knowledge) elmélete. Ez a téma szintén logikai fejtörőkön keresztül világítható meg. Arról van szó, hogy milyen extra információtartalma van annak, ha nyilvánosan bejelentésre kerül olyan dolog, amit addig is mindenki tudott. Kiderül, hogy világokat képes megmozgatni és átalakítani egy ilyen információ, akkor is, ha az mindenki számára ismert volt addig is. Ennek aztán szemlélettágító következményei vannak a nyilvánosság, a média szerepére vonatkozólag csakúgy, mint a köztudott tudás megakadályozásán alapuló magánéleti, munkahelyi, társadalmi játszmáink logikai gyökerére nézve.
“Miért kell kimondanunk, hogy „Elnézést, az én hibám volt.”, akkor is, ha ezt mindenki tudja? Miként tudnak népeket uralni szélsőséges nézetek? Hogyan működnek a diktatúrák? Miért fontos a szabad sajtó? Mi kell ahhoz, hogy az emberek elmenjenek egy tüntetésre? Mitől értékes a pénz? Mitől lesz a jó tanulóból „stréber”? Mitől jó egy krimi? És miért a bélyeggyűjteményt megyünk megmutatni az első randi után?”